Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) thì có

\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{16}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a,b,c>0\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\ge\frac{3a}{16}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế

\(VT+\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{64}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{16}\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{16}\)

Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

BaBie làm cái chi đây 

Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :

\(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{x+1}{8}+\frac{x+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}\)

=> \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{x+1}{4}\) (1)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 

CM tương tự ra có " \(\frac{1}{\left(y+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{y+1}{4}\)(2) ; \(\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{z+1}{4}\) (3)

Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1 

Từ (1) (2) và (3) => \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{x+y+z+3}{4}\)\(\ge\frac{9}{4}-\frac{3\sqrt[3]{xyz}+3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}\)

BĐT được chứng minh 

Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1

\(P=\frac{3\left(x^3+y^3+z^3\right)}{4\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{4\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\)

\(=\frac{x+y+z}{4}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\)

Đặt \(x+y+z=a\) thì cần chứng minh

\(\frac{a}{4}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\left(a+1\right)\ge0\)(đúng)

vì x+y+z=1nên

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)

nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)

\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)

dau = xay ra khi x=y=z=1/3

Do x, y >0  nên bất đẳng thức tương đương với :

\(\left[\left(1+x\right)^2+\left(1+y\right)^2\right]\left(1+xy\right)\ge\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2+2x+2y+x^2+y^2\right)\left(1+xy\right)\ge\left(1+2x+x^2\right)\left(1+2y+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2+\left(xy-1\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức này luôn đúng

Dấu bằng xảy ra khi x=y=1

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+2x+2y+2}{\left(1+x+y+xy\right)^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left[\left(x-y\right)^2+2\left(xy+x+y+1\right)\right]\ge\left(1+x+y+xy\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(1+x+y+xy\right)\left(2+2xy-1-x-y-xy\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(xy+1+x+y\right)\left(xy+1-x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(xy+1\right)^2-\left(x+y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+xy\left(x-y\right)^2+x^2y^2+1-x^2-y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2+\left(xy-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)